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BAC PRO

Calculer la norme d'un vecteur dans l'espace muni d'un repère orthonormé ▼

Activité — Longueur du déplacement de la broche ▼

Situation

La machine a effectué le déplacement du point A(1 ; 1 ; 2) au point B(4 ; 3 ; 5), c'est-à-dire le vecteur AB (3 ; 2 ; 3). L'opérateur veut maintenant connaître la distance parcourue à vol d'oiseau, pour vérifier le programme d'usinage et estimer le chemin réel de la broche.

Problématique : Comment calculer la longueur du déplacement, c'est-à-dire la norme du vecteur AB ?

Déplacement de la broche de A(1 ; 1 ; 2) à B(4 ; 3 ; 5).

Travail de recherche

Liste de matériel : une calculatrice avec la touche racine carrée, la figure ci-dessus.

1. Rappeler les coordonnées du vecteur AB :

2. Pour calculer la longueur du déplacement, on utilise :

Travaux pratiques — A. Rappel

Dans un repère orthonormé de l'espace, la norme d'un vecteur u(x ; y ; z) est :

‖u‖ = √( x² + y² + z² )

B. Protocole expérimental

  1. Lire sur la figure les coordonnées du vecteur AB.
  2. Élever chaque coordonnée au carré.
  3. Additionner les trois carrés.
  4. Prendre la racine carrée de la somme.

Exemple : Si AB (3 ; 2 ; 3), alors :

‖AB‖ = √(3² + 2² + 3²) = √22 ≈ 4,7 cm

Vérifier la norme du déplacement de la broche :

C. Réalisation des mesures

Pour chaque figure (reprises de la partie 1), déterminer les coordonnées du vecteur AB, puis choisir sa norme.

Figure 1

Figure 1

Figure 2

Figure 2

Figure 3

Figure 3

Ce qu'il faut retenir de l'activité

  • La norme d'un vecteur u(x ; y ; z) est ‖u‖ = √(x² + y² + z²).
  • La norme correspond à la longueur du déplacement modélisé par le vecteur.
  • Elle se calcule avec le théorème de Pythagore appliqué trois fois.
  • Une norme est toujours positive (ou nulle pour le vecteur nul).

Exercices d'application▼

Exercice 1 — Calcul de la norme d'un vecteur

Calculer la norme de chaque vecteur (arrondir au dixième), puis choisir le résultat :

Exercice 2 — Synthèse : du graphique à la norme

Pour chaque figure, déterminer graphiquement les coordonnées du vecteur AB, puis choisir sa norme.

Figure 1

Figure 1

Figure 2

Figure 2

Figure 3

Figure 3