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BAC PRO REMI - Maths

BAC PRO

Représenter, dans l'espace muni d'un repère orthonormé, un vecteur dont les coordonnées sont données ▼

Activité — Trajectoire de la broche (code ISO) ▼

Situation

La fraiseuse à commande numérique (voir la partie 1) doit usiner une pièce aluminium. Le programme de la machine (code ISO) commence par un déplacement rapide de la broche en position de sécurité, puis un premier usinage : à partir du point de changement d'outil A(1 ; 1 ; 1), la machine applique la consigne suivante du programme : X+3 ; Y+2 ; Z+2. Ce déplacement est modélisé par le vecteur u(3 ; 2 ; 2). Le programmeur doit tracer ce déplacement sur le plan de la machine pour vérifier la trajectoire de la broche avant de lancer l'usinage.

Problématique : Comment représenter, dans le repère de la machine, le vecteur u et trouver son point d'arrivée ?

Travail de recherche

1. L'origine du vecteur à tracer est :

2. Pour trouver le point d'arrivée à partir de A et de u(3 ; 2 ; 2), il faut :

Travaux pratiques — Protocole expérimental

Étape 1 : placer l'origine du vecteur

  1. Placer le point A de départ dans le repère orthonormé.
  2. Marquer ce point d'une croix.

Étape 2 : construire le point d'arrivée

  1. Avancer de x unités dans la direction de (O ; i).
  2. Avancer de y unités dans la direction de (O ; j).
  3. Monter de z unités dans la direction de (O ; k).
  4. Marquer le point d'arrivée B, puis tracer la flèche de A vers B.

Exemple : Si A(1 ; 1 ; 1) et u(3 ; 2 ; 2), alors :

B (1 + 3 ; 1 + 2 ; 1 + 2), soit B (4 ; 3 ; 3)

Tracer maintenant, dans le repère vide ci-dessous, le vecteur u(3 ; 2 ; 2) d'origine A(1 ; 1 ; 1), puis vérifier le point d'arrivée :

Repère vide : tracer le vecteur u(3 ; 2 ; 2) d'origine A(1 ; 1 ; 1).
Voir la correction du tracé
Le vecteur u(3 ; 2 ; 2) amène la broche de A(1 ; 1 ; 1) à B(4 ; 3 ; 3).

Réalisation des tracés

Pour chacun des trois vecteurs ci-dessous, tracer le vecteur d'origine O dans le repère vide, puis choisir les coordonnées du point d'arrivée.

Vecteur u1 (2 ; 3 ; 1)

Repère vide pour u₁

Vecteur u2 (4 ; 0 ; 2)

Repère vide pour u₂

Vecteur u3 (1 ; 4 ; 3)

Repère vide pour u₃

Ce qu'il faut retenir de l'activité

  • Pour représenter un vecteur u(x ; y ; z) d'origine A, on part de A, on avance de x unités selon (O ; i), de y unités selon (O ; j) et de z unités selon (O ; k).
  • Le point d'arrivée est B(xA+x ; yA+y ; zA+z).
  • Si l'origine est O(0 ; 0 ; 0), le point d'arrivée a les mêmes coordonnées que le vecteur.

Exercices d'application▼

Exercice 1 — Représenter un vecteur d'origine O

Pour chaque vecteur, tracer le vecteur d'origine O dans le repère vide, puis choisir les coordonnées du point d'arrivée.

Repère vide pour l'exercice 1
Voir la correction des tracés
Les trois vecteurs d'origine O : u(3 ; 2 ; 4), v(5 ; 1 ; 2) et w(2 ; 4 ; 3).

Exercice 2 — Synthèse : du calcul au tracé

La tête porte-outil part du point A(1 ; 1 ; 2) et suit le vecteur AB (3 ; 2 ; 1).

1. Choisir les coordonnées du point d'arrivée B :

2. Représenter le vecteur AB dans le repère vide ci-dessous, puis vérifier :

Repère vide pour l'exercice 2
Voir la correction du tracé
Le vecteur AB(3 ; 2 ; 1) mène de A(1 ; 1 ; 2) à B(4 ; 3 ; 3).